首先放出结论：最优的方案是所有火球往从左往右（或从右往左）第 ⌈n2⌉\lceil\dfrac n2\rceil⌈2n ⌉ 个火球滚。接下来会给出证明。
我们把火球视为数轴上的点，则最优方案必然是所有火球到这个火球距离和最短。设这个火球的坐标为 xxx，其它火球 iii 的坐标为 xix_ixi 。由绝对值性质得：
∣x−xi∣+∣x−xn−i+1∣≥∣xi−xn−i+1∣\left|x-x_i\right|+\left|x-x_{n-i+1}\right|\geq\left|x_i-x_{n-i+1}\right| ∣x−xi ∣+∣x−xn−i+1 ∣≥∣xi −xn−i+1 ∣
暴力代入 i=1,2,⋯ ,ni=1,2,\cdots,ni=1,2,⋯,n 得
{∣x−x1∣+∣x−xn∣≥∣x1−xn∣∣x−x2∣+∣x−xn−1∣≥∣x2−xn−1∣⋮∣x−xn∣+∣x−x1∣≥∣x3−x1∣\begin{cases} \left|x-x_1\right|+\left|x-x_n\right|&\geq\left|x_1-x_n\right|\\ \left|x-x_2\right|+\left|x-x_{n-1}\right|&\geq\left|x_2-x_{n-1}\right|\\ \vdots\\ \left|x-x_n\right|+\left|x-x_1\right|&\geq\left|x_3-x_1\right|
\end{cases} ⎩⎨⎧ ∣x−x1 ∣+∣x−xn ∣∣x−x2 ∣+∣x−xn−1 ∣⋮∣x−xn ∣+∣x−x1 ∣ ≥∣x1 −xn ∣≥∣x2 −xn−1 ∣≥∣x3 −x1 ∣
求和得
2∑i=1n∣x−xi∣≥∑i=1n∣xi−xn−i+1∣2\sum_{i=1}^n\left|x-x_i\right|\geq\sum_{i=1}^n\left|x_i-x_{n-i+1}\right| 2i=1∑n ∣x−xi ∣≥i=1∑n ∣xi −xn−i+1 ∣
显然等号成立，当且仅当 x⌊n/2⌋≤x≤x⌈n/2⌉x_{\lfloor n/2\rfloor}\leq x\leq x_{\lceil n/2\rceil}x⌊n/2⌋ ≤x≤x⌈n/2⌉ 。
码简不贴。
