不正经题解 - 含证明

首先放出结论：最优的方案是所有火球往从左往右（或从右往左）第 $\lceil\dfrac n2\rceil$ 个火球滚。接下来会给出证明。

我们把火球视为数轴上的点，则最优方案必然是所有火球到这个火球距离和最短。设这个火球的坐标为 $x$，其它火球 $i$ 的坐标为 $x_i$。由绝对值性质得：

$$\left|x-x_i\right|+\left|x-x_{n-i+1}\right|\geq\left|x_i-x_{n-i+1}\right|$$

暴力代入 $i=1,2,\cdots,n$ 得

$$\begin{cases} \left|x-x_1\right|+\left|x-x_n\right|&\geq\left|x_1-x_n\right|\\ \left|x-x_2\right|+\left|x-x_{n-1}\right|&\geq\left|x_2-x_{n-1}\right|\\ \vdots\\ \left|x-x_n\right|+\left|x-x_1\right|&\geq\left|x_3-x_1\right| \end{cases}$$

求和得

$$2\sum_{i=1}^n\left|x-x_i\right|\geq\sum_{i=1}^n\left|x_i-x_{n-i+1}\right|$$

显然等号成立，当且仅当 $x_{\lfloor n/2\rfloor}\leq x\leq x_{\lceil n/2\rceil}$。

码简不贴。