题目链接：等差数列计数
题目描述
首先根据题目要求，给定一个等差数列的首项 t1t_1t1 和这个等差数列的末项 tnt_ntn ，问符合这个形式的等差数列的数量。
例如，对于第一个 Testcase\mathtt{Testcase}Testcase，当 t1t_1t1 为 111，tnt_ntn 为 999 时，可行的等差数列方案数有四个，分别为以下所示：
1. S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
2. S={1,3,5,7,9}S = \{1, 3, 5, 7, 9\}S={1,3,5,7,9}
3. S={1,5,9}S = \{1, 5, 9\}S={1,5,9}
4. S={1,9}S = \{1, 9\}S={1,9}
思路分析
我们知道，等差数列的公差数量就是这个等差数列的可行方案数，即有多少种不同的公差方案，就可以构造出多少种不同的等差数列。因此通过分析题意，我们可以将问题更细致地转换为 已知等差数列的首项和尾项，求出这个等差数列公差的可行方案数。所以对于本题而言，我们只需要求出有多少个公差就可以了。
显然本题的就引刃而解了，我们只需要求出这个等差数列首项和末项的差的绝对值，即 diff=∣tn−t1∣diff = \lvert t_n - t_1 \rvertdiff=∣tn −t1 ∣。然后我们只需要求出 diffdiffdiff 的因数个数即可。diffdiffdiff 的因数就是可行的因数方案（详细证明过程见下文）。
例如，当 t1t_1t1 为 111，tnt_ntn 为 999 时，diff=∣9−1∣=8diff = \lvert 9 - 1 \rvert = 8diff=∣9−1∣=8。888 的因数有四个，分别是 {1,2,4,8}\{1, 2, 4, 8\}{1,2,4,8}，因此当这个等差数列首项为 111，末项为 999 时，可行的等差数列方案应为四个。
结论证明
通过等差数列公式，我们可以将等差数列的首项和末项通过公式联立起来，得到 tn=t1+(n−1)×dt_n = t_1 + (n-1)\times dtn =t1 +(n−1)×d，其中 nnn 表示等差数列的项数，ddd 表示等差数列的公差。
由于我们想要求解所有的因数个数，因此我们将通过移项的操作将 ddd 放到等式左边，将其余的量都放到等式右边。得到：
tn−t1=(n−1)×dd=tn−t1n−1\begin{equation} \begin{split} t_n - t_1 &= (n-1) \times d \\ d &= \frac{t_n - t_1}{n-1} \end{split} \end{equation} tn −t1 d =(n−1)×d=n−1tn −t1
由于等差数列的性质，n−1n - 1n−1 必须为非负整数（等差数列的长度不能 000）。或者根据等差数列的另一个性质，如果首项和末项的差为负数，那么公差也必须为负数，反之亦然。因此也可以推导出 n−1n - 1n−1 必须是非负整数。
为了方便起见，我们将 n−1n-1n−1 看作为一个整体，另 Δt=n−1\Delta t = n - 1Δt=n−1。将该整体代入方程后即可得到 d=tn−t1Δtd = \frac{t_n - t_1}{\Delta t}d=Δttn −t1 。为了使 ddd 是一个整数，因此 tn−t1t_n - t_1tn −t1 必须是 Δt\Delta tΔt 的倍数。因此我们只需要通过枚举上述方程，计算 tn−t1t_n - t_1tn −t1 所有的因数数量就可以得到本问题的解。
AC 代码
以下是本题的 AC 代码。需要注意的是，由于本题的数据量比较大，因此在判断因数的过程中需要优化算法（与判断质数类似），这样子算法就可以在 O(n)O(\sqrt{n})O(n ) 的时间内完成枚举，不至于超时：
