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A7125.一元二次方程

普及/提高-

CSP-J

通过率：0%

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内存限制：128MB

题目描述

题目背景

众所周知，对一元二次方程 ax2+bx+c=0,(a≠0)ax ^ 2 + bx + c = 0, (a \neq 0)，可以用以下方式求实数解：

  • 计算 Δ=b2−4ac\Delta = b ^ 2 - 4ac，则:
    1. 若 Δ<0\Delta < 0，则该一元二次方程无实数解。
    2. 否则 Δ≥0\Delta \geq 0，此时该一元二次方程有两个实数解 x1,2=−b±Δ2ax _ {1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2a}。

例如：

  • x2+x+1=0x ^ 2 + x + 1 = 0 无实数解，因为 Δ=12−4×1×1=−3<0\Delta = 1 ^ 2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0。
  • x2−2x+1=0x ^ 2 - 2x + 1 = 0 有两相等实数解 x1,2=1x _ {1, 2} = 1。
  • x2−3x+2=0x ^ 2 - 3x + 2 = 0 有两互异实数解 x1=1,x2=2x _ 1 = 1, x _ 2 = 2。

在题面描述中 aa 和 bb 的最大公因数使用 gcd⁡(a,b)\gcd(a, b) 表示。例如 1212 和 1818 的最大公因数是 66，即 gcd⁡(12,18)=6\gcd(12, 18) = 6。

题目描述

现在给定一个一元二次方程的系数 a,b,ca, b, c，其中 a,b,ca, b, c 均为整数且 a≠0a \neq 0。你需要判断一元二次方程 ax2+bx+c=0a x ^ 2 + bx + c = 0 是否有实数解，并按要求的格式输出。

在本题中输出有理数 vv 时须遵循以下规则：

  • 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 pp 和 qq，满足 q>0q > 0，gcd⁡(p,q)=1\gcd(p, q) = 1 且 v=pqv = \frac pq。

  • 若 q=1q = 1，则输出 {p}，否则输出 {p}/{q}，其中 {n} 代表整数 nn 的值；

  • 例如：

    • 当 v=−0.5v = -0.5 时，pp 和 qq 的值分别为 −1-1 和 22，则应输出 -1/2；
    • 当 v=0v = 0 时，pp 和 qq 的值分别为 00 和 11，则应输出 0。

对于方程的求解，分两种情况讨论：

  1. 若 Δ=b2−4ac<0\Delta = b ^ 2 - 4ac < 0，则表明方程无实数解，此时你应当输出 NO；

  2. 否则 Δ≥0\Delta \geq 0，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 xx，则：

    1. 若 xx 为有理数，则按有理数的格式输出 xx。

    2. 否则根据上文公式，xx 可以被唯一表示为 x=q1+q2rx = q _ 1 + q _ 2 \sqrt r 的形式，其中：

      • q1,q2q _ 1, q _ 2 为有理数，且 q2>0q _ 2 > 0；
      • rr 为正整数且 r>1r > 1，且不存在正整数 d>1d > 1 使 d2∣rd ^ 2 \mid r（即 rr 不应是 d2d ^ 2 的倍数）；

    此时：

    1. 若 q1≠0q _ 1 \neq 0，则按有理数的格式输出 q1q _ 1，并再输出一个加号 +；
    2. 否则跳过这一步输出；

    随后：

    1. 若 q2=1q _ 2 = 1，则输出 sqrt({r})；
    2. 否则若 q2q _ 2 为整数，则输出 {q2}*sqrt({r})；
    3. 否则若 q3=1q2q _ 3 = \frac 1{q _ 2} 为整数，则输出 sqrt({r})/{q3}；
    4. 否则可以证明存在唯一整数 c,dc, d 满足 c,d>1,gcd⁡(c,d)=1c, d > 1, \gcd(c, d) = 1 且 q2=cdq _ 2 = \frac cd，此时输出 {c}*sqrt({r})/{d}；

    上述表示中 {n} 代表整数 {n} 的值，详见样例。

    如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 NO。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 T,MT, M，分别表示方程数和系数的绝对值上限。

接下来 TT 行，每行包含三个整数 a,b,ca, b, c。

输出格式

输出 TT 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。

每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

输入输出样例

  • 输入#1

    9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1

    输出#1

    1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2

说明/提示

【数据范围】

对于所有数据有：1≤T≤50001 \leq T \leq 5000，1≤M≤1031 \leq M \leq 10 ^ 3，∣a∣,∣b∣,∣c∣≤M|a|,|b|,|c| \leq M，a≠0a \neq 0。

测试点编号 M≤M \leq 特殊性质 A 特殊性质 B 特殊性质 C
11 11 是 是 是
22 2020 否 否 否
33 10310 ^ 3 是 否 是
44 10310 ^ 3 是 否 否
55 10310 ^ 3 否 是 是
66 10310 ^ 3 否 是 否
7,87, 8 10310 ^ 3 否 否 是
9,109, 10 10310 ^ 3 否 否 否

其中：

  • 特殊性质 A：保证 b=0b = 0；
  • 特殊性质 B：保证 c=0c = 0；
  • 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。

输入文件名：uqe.in
输出文件名：uqe.out

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