最大四边形面积-数学法题解

前言

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你还在为dalao的Math法看不懂而悲伤吗？
速速食用这篇题解！Math方法解题超详细(不对处欢迎指正！)

目录

1 解题知识点具备要求
2 题目大意
3 一次函数图像上的分析 (分类讨论)
4 转换二次函数抛物线并求得最值 (重点！！！)
5 代码环节

解题知识点具备

解这道题你需要具备以下知识点
初二：一次函数的图形与性质

$y=kx+b(k,b为常数)$

初三：二次函数概念及二次函数(抛物线)的顶点坐标
$y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数)$
顶点坐标$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

题目大意

有一条一次函数直线$y=kx+b$，已知$k和b$且直线上有一动点$P$在坐标系的第一象限移动，$P$与数轴构成 矩形$PDOC$(本蒟蒻自定的)，现求$S_{矩形PDOC}$最大，如下图

一次函数图像上的分析 (分类讨论)

通过一次函数的性质我们可以知道
当$k>0$时，图像的开口是朝上的此时若P在第一象限上移动则解会无限大，如图

但当$k<0$时，即 题目大意 中图片所示，图像的开口朝下，一次函数图像的第一象限部分是有限制的，所以此时$S_{PDOC}$有最大值
因此明晰了有解和无解的情况
1-当$k>0$时无解 输出-1
2-当$k<0$时有解 继续往下求解

转换二次函数抛物线并求得最值

在分析完有无解后，最重要的一步来了，求得最大解
我们依旧拿图片来看

我们设点$P$的横纵坐标上为$x_p$和$y_p$，因为点$P$在一次函数上所以$y_p$满足$y_p=kx_p+b$，所以点$P$可表示为$(x_p,kx_p+b)$
又因为$S_{矩形PDOC}=DP\cdot PC$且$DP=x_p,PC=y_p$
所以$S_{矩形PDOC}=x_p\cdot y_p\\=x_p\cdot(kx_p+b)\\=kx_p{^2}+bx_p$
这样此时$S_{矩形PDOC}$值就变成了一个一元二次方程，求其最大值
求一元二次方程的最大值可以将它抽象为二次函数，继而转为求二次函数(抛物线)的最大值也就是顶点的$y$轴数值，如下图所示

一个二次函数可以表示为$y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数)$
我们将上面求出的$kx_p{^2}+bx_p$作观察
发现$a=k,b=b,c=0$
而后代入求顶点纵坐标的公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$
因为$c=0$所以$4ac$项消掉 最终得出$\frac{-b^2}{4a}$
所以$S_{矩形PDOC}=\frac{-b^2}{4a}$
这样我们就把有解情况下的公式求出来了！！！

代码环节

附带注释！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long k,b;//给定的一次函数常数项 
double ans;
int main() {
	int T;//T组数据
	cin>>T;
	for(int i=1;i<=T;i++){
		cin>>k>>b;
		if(k>=0){cout<<-1<<endl;}//一次函数图形开口朝上,ans无限大无解
		else{
			/*
			S=xp*yp
			因为y1=k*xp+b
			所以S=xp*(k*xp+b)=kx^2+bx ->(变为二次方程形式ax^2+bx+c,此处a=k,b=b,c=0)
			将二次方程转为二次函数，变为求二次函数最大值即(抛物线)顶点
			抛物线顶点公式=(4ac-b^2)/4a 
			又因为c=0 
			所以最大值=(-b^2)/4a=(-b^2)/4k 
			*/
			double S;
			S=(-pow(b,2))*1.0/(4*k);//k=a,*1.0是强转 
			printf("%.4f\n",S);
		} 
	} 
	return 0;
}