提示:这是高二数学选修重点，可能有点亿难度
1、排列和组合的定义
(1)排列的定义
从n个不同元素中，选出m个元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
(2)排列数的定义
从n个元素中选出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
(3)全排列的定义
当n=m时所有的排列情况叫做全排列。
(4)组合的定义
从n个不同元素中，选出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
(5)组合数的定义
从n个元素中选出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
(6)排列&组合的区别
通俗地说，组合不分顺序，而排列分顺序，也就是说，对于数列1,2，有以下两种排列：1,2和2,1，但是仅有一种组合1,2或2,1.
2、排列&组合的公式
(1)关于排列的公式
从n个不同元素中，选出m个元素的排列数，数学表示为：AnmA^m_nAnm
计算公式如下：
Anm=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)=n!(n−m)!A^m_n=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}Anm =n(n−1)(n−2)...(n−m+1)=(n−m)!n!
(2)关于组合的公式
从n个不同元素中，选出m个元素的组合数，数学表示为：CnmC^m_nCnm
计算公式如下：***=AnmAmm=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!C^m_n=\frac{A^m_n}{A^m_m}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}*** =Amm Anm =m!n(n−1)(n−2)...(n−m+1) =m!(n−m)!n!
不过现在数学界普遍采用(nm)\dbinom{n}{m}(mn )的记号而非CnmC^m_nCnm
(3)全排列的公式
某个数列的全排列数，计算公式如下：Ann=n(n−1)(n−2)...3×2×1=n!A^n_n=n(n-1)(n-2)...3\times2\times1=n!Ann =n(n−1)(n−2)...3×2×1=n!
3、二项式定理
(1)定义及概念
对于非负整数n和k，二项式系数定义为的多项式展开式中，项的系数，即(nk)(1+x)nxk\dbinom{n}{k}(1+x)^nx^k(kn )(1+x)nxk
(1+x)n=∑k=0n(nk)xk=(n0)+(n1)x+...+(nn)xn(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k=\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}x+...+\dbinom{n}{n}x^n(1+x)n=∑k=0n (kn )xk=(0n )+(1n )x+...+(nn )xn
事实上，若x、y为交换环上的元素，则
(x+y)n=∑k=0n(nk)xn−kyk(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^{n-k}y^k(x+y)n=∑k=0n (kn )xn−kyk
(2)递归公式
以下递归公式可计算二项式系数：(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}(kn )=(k−1n−1 )+(kn−1 )
其中特别指定：(n0)=1\dbinom{n}{0}=1(0n )=1且(0k)=0\dbinom{0}{k}=0(k0 )=0
