今天我们来讲一元二次函数！
本文章适合已学习过、接触过函数的同学
注：这里整理的内容网上可找不到哦，是整合内容
注：作者本人7年级小弱弱，自主与高中数学老师的母亲学习，可能不太完善，有错误请提出
好玩爱玩
一元二次函数又称二次函数哦
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首先我们来了解一元二次函数，即为
Y=AX2+BX+CY=AX^2+BX+CY=AX2+BX+C
其中a不等于零，b，c是实数
这是一个直角坐标系
我们来看个例子：
Y=X2+1Y=X^2+1Y=X2+1
这里b=0
会长这样
我们可以看到，一元二次函数的图像是一个抛物线。
那么，抛物线有开口方向、顶点（最低/高点）、与x轴交点（可能为0）、定点与x轴距离等等
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我们先来观察函数性质：
刚才已经展示了一个函数图像，那么我们再展示一个：
Y=−X2+1Y=-X^2+1Y=−X2+1
我们发现，在A>0时，抛物线开口朝上，反之开口朝下
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我们再来观察图像：
Y=X2+2X(C=0)Y=X^2+2X(C=0)Y=X2+2X(C=0)
顶点横坐标（x）为负
Y=X2−2X(C=0)Y=X^2-2X(C=0)Y=X2−2X(C=0)
顶点横坐标为正
Y=−X2+2X(C=0)Y=-X^2+2X(C=0)Y=−X2+2X(C=0)
顶点横坐标为正
Y=−X2−2X(C=0)Y=-X^2-2X(C=0)Y=−X2−2X(C=0)
顶点横坐标为负
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所以可以得出结论：
当A>0时：
当b>0,顶点在y轴左侧（横坐标为负）
当b<0,顶点在y轴右侧（横坐标为正）
当A<0时：
当b<0,顶点在y轴侧（横坐标为负）
当b>0,顶点在y轴右侧（横坐标为正）
记住，当B=0，顶点在Y轴上（X轴为0）
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接下来是枯燥无味的顶点公式：
顶点
P(−B2A,4AC−B24A)P(\FRAC{-B}{2A},\FRAC{4AC-B^2}{4A})P(2A−B ,4A4AC−B2 )
要背，很有用
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接下来我们来学习函数图像与x轴的交点
函数y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c可以转换为y=a(x−m)(x−n)y=a(x-m)(x-n)y=a(x−m)(x−n)
其中与x轴交点的坐标分别为：
X1(m,0)X_1(m,0)X1 (m,0)
X2(n,0)X_2(n,0)X2 (n,0)
其实实质就是am2+bm+c=0am^2+bm+c=0am2+bm+c=0和an2+bn+c=0an^2+bn+c=0an2+bn+c=0
当然，不是所有时候都是2个交点，有时是1个，有时没有。
这里我们需要了解一元二次方程：
AX2+BX+C=0AX^2+BX+C=0AX2+BX+C=0
此处有个叫做ΔΔΔ（德尔塔）的东西，即为：
Δ=B2−4ACΔ=B^2-4ACΔ=B2−4AC
当ΔΔΔ大于0时，方程有2个不同的解
当ΔΔΔ等于0时，方程有2个相同的解（就是1个解）
当ΔΔΔ小于0时，方程没有解
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一元二次函数和这里的一元二次方程相似，也有ΔΔΔ，性质相同。
所以当ΔΔΔ大于0时，ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0有2个解，所以函数图像与x轴有2个交点
当ΔΔΔ等于0时，ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0有1个解，所以函数图像与x轴有1个交点
当ΔΔΔ小于0时，ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0没有解，所以函数图像与x轴没有交点
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一元二次函数，只需要知道3个点，即可确定函数解析式
like this:
已知二次函数
Y=AX2+BX+CY=AX^2+BX+CY=AX2+BX+C
上有3个点，分别为
A(−1,0)A(-1,0)A(−1,0),B(0,1)B(0,1)B(0,1),C(−2,1)C(-2,1)C(−2,1)
先列表（这里只是便于记录，其实不用）：
点 X Y A -1 0 B 0 1 C -2 1
那么逐一带入：
A−B+C=0A-B+C=0A−B+C=0
C=1C=1C=1
4A−2B+C=14A-2B+C=14A−2B+C=1
解方程，得：
{a=1b=2c=1 \begin{cases} a=1 \\ b=2\\ c=1 \end{cases} ⎩⎨⎧ a=1b=2c=1
所以得出函数：y=x2+2x+1y=x^2+2x+1y=x2+2x+1
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23/12/28更：
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先讲关于某些题型！
什么题型呢，就是问你某个函数的函数图像在x轴上/下的部分的定义域是什么
讲个例子，eg.求y=x^2+2-5的函数图像在x轴之下的部分的x坐标范围！
首先可以画个图辅助：
首先我们前面知道，当a>0时，函数开口朝上，所以在x轴之下的应该是大于m小于n的（这里指前面的y=a(x−m)(x−n)y=a(x-m)(x-n)y=a(x−m)(x−n)顶点式中的m，n)
也就是这一块：
所以我们要求出与x轴相交的两个点坐标，也就是设：
x2+2x−5=0x^2+2x-5=0x2+2x−5=0
学过一元二次方程的都会做吧！这里我就不展示了
X=−B±B2−4AC2A=−2±22+202=−1±6X=\FRAC{-B\PM\SQRT{B^2-4AC}}{2A}=\FRAC{-2\PM\SQRT{2^2+20}}{2}=-1\PM\SQRT{6}X=2A−B±B2−4AC =2−2±22+20 =−1±6
X1=−1−6X_1=-1-\SQRT{6}X1 =−1−6
X2=−1+6X_2=-1+\SQRT{6}X2 =−1+6
所以这里m=−1−6m=-1-\sqrt{6}m=−1−6 ,n=−1+6n=-1+\sqrt{6}n=−1+6
所以答案为：
−1−6<x<−1+6-1-\sqrt{6}<x<-1+\sqrt{6}−1−6 <x<−1+6
当然，想求在x轴之上也可以，在上面的基础上答案为：
x<−1−6x<-1-\sqrt{6}x<−1−6 或者x>−1+6x>-1+\sqrt{6}x>−1+6
注：考试的时候可能在A,B,C中选择几个不告诉你！这里需要结合前面的定理来判断开口方向
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待更
