欧拉公式展开式。

原题链接：35279.欧拉函数。
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狼王

倔强青铜

2024-12-15 12:30:53

发布于：浙江

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有人知道欧拉公式的展开式么？

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    狼王

    倔强青铜

    欧拉公式是数学中一个非常重要的公式，它将复指数函数与三角函数联系起来。具体来说，欧拉公式表示为：
    [ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) ]
    其中，( e )是自然对数的底，( i )是虚数单位，( x )是一个实数变量
    1
    。
    欧拉公式的推导
    欧拉公式可以通过泰勒级数展开来推导。首先，我们知道以下泰勒级数展开式：
    [ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots ]
    将这个公式扩展到复数域，我们得到：
    [ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} + \cdots ]
    将实部和虚部分开，我们可以得到：
    [ e^{ix} = \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \right) ]
    注意到括号内的部分分别是余弦函数和正弦函数的泰勒级数展开式，因此我们可以写成：
    [ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) ]

    2024-12-15 来自 浙江

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