二分查找的区间到底是开还是闭？
2024-12-02 11:06:00
发布于：加拿大
二分查找的区间到底是开还是闭？
在这两个月的时间里，我似乎没有产出任何的有关知识点的文章，大多数都是题解相关的内容。以至于许多人觉得 Macw07 “失踪”了。本文是我来到北美之后的第一篇知识点文章，请大家多多关照。
这次不讲难的知识点了，讲一个大家都熟悉的，但又非常令人抓毛的算法：二分查找和二分答案算法。
引言 Introduction
注意：本文仅针对了解过二分查找基本算法原理的用户群体，若您从未接触过或了解过该算法，请先学习基础的二分查找算法。
二分查找算法是大家一个再熟悉不过的算法了，二分查找算法可以在一个 有序数列 中高效地查找某个或多个特定的目标值。一般来说，二分查找的时间复杂度在 级别。二分算法非常适合在大数据集上实现快速查询。与此同时，除了基本的二分查找算法，它的许多变种也被广泛应用于各种场景，比如求最大值、最小值，甚至在复杂的数据结构中优化数据的查找性能。
许多同学肯定在学习完基本的二分查找后一直有一个疑问：我到底该如何设置 和 的区间闭合状态？什么时候需要输出 或 ，为什么有时候还需要 ？ 到底保存的是什么东西？etc.
事实上，区间开闭的变量定义 确实是一个核心且容易混淆的问题，在 CSP 考试中也常考此知识点，因此本文将重点围绕区间开闭的变量定义来展开。
二分查找的基本原理 Basic Principles of Binary Search
在深入讨论区间开闭之前，有必要回顾一下二分查找的基本原理。二分查找通过反复将搜索区间分成两半，逐步缩小目标值所在的范围，直到找到目标值或确定其不存在。具体步骤如下：
-
初始化：设定搜索区间的左右边界 和 。
-
计算中点：计算中点 。
-
比较
：将目标值与中点元素进行比较。
- 若相等，返回中点位置。
- 若目标值小于中点元素，缩小搜索区间至左半部分。
- 若目标值大于中点元素，缩小搜索区间至右半部分。
-
重复：重复上述步骤，直到找到目标值或搜索区间为空。
开区间/闭区间 Open Interval/Closed Interval
在文章开始，先了解一下区间的开闭性。
开区间
定义：开区间表示区间的端点 不包含在区间内，用小括号 表示。
示例： 表示所有介于 和 之间的数，但不包含数字 和 。
闭区间
定义：开区间表示区间的端点 包含在区间内，用方括号 表示。
示例： 表示所有介于 和 之间的数，而且包含数字 和 。
半开区间/半闭区间
定义：半开区间或半闭区间表示区间的一个端点包含在内，另一个端点不包含在内。
示例： 表示所有介于 和 之间的数，且包含数字 ，但不包含数字 。
| 区间类型 | 表示方式 | 是否包含左端点 | 是否包含右端点 |
|---|---|---|---|
| 开区间 | 否 | 否 | |
| 闭区间 | 是 | 是 | |
| 左开右闭 | 否 | 是 | |
| 左闭右开 | 是 | 否 |
区间开闭的类型 Interval Categories
在实现二分查找的时候，区间的定义是最常见的一个问题，你可能会看到过以下不同的区间开闭性的定义：
- 左开右开
- 左闭右闭
- 左开右闭
- 左闭右开
通常来说，我们一般会选择【左闭右开】或者【左闭右闭】的区间定义，所以本文也就着重围绕这两个部分讲解。但对于不同的定义区间，如果稍有不慎，就容易使代码进入 死循环。
左闭右闭区间
定义：搜索区间包括 left 和 right，即 left 和 right 都可能是目标值。
退出条件：left > right，表示搜索区间为空。
左闭右闭区间的二分查找的常见写法如下：
while (left <= right) { // 注意是 <=
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
return mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1; // [mid+1, right]
} else {
right = mid - 1; // [left, mid-1]
}
}
左闭右开区间
定义：搜索区间包括 left 但不包括 right，即目标值可能是 left，但不可能是 right。
退出条件：当 left == right 时，表示搜索区间为空。
左闭右开区间的二分查找的常见写法如下：
while (left < right) { // 注意是 <
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
return mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1; // [mid+1, right)
} else {
right = mid; // [left, mid)
}
}
两种区间的迭代过程中的差异 Differences During Iterating
left 的更新：
- 左闭右闭：
left = mid + 1，因为mid已经被检查过了，mid+1开始的新区间仍是闭区间。 - 左闭右开：
left = mid + 1，保持right的开区间性质。
right 的更新：
- 左闭右闭：
right = mid - 1，因为mid已经被检查过了，mid-1保证了闭区间不重复。 - 左闭右开：
right = mid，将mid排除，保证开区间不包含right。
退出条件：
- 左闭右闭：循环结束条件为
left > right。 - 左闭右开：循环结束条件为
left == right。
两种区间的优缺点 Pros & Cons
左闭右闭的有点
- 直观易懂：包括
left和right的写法更加接近自然语言的描述，例如 “在 区间查找目标值”。 - 处理小区间：对于某些需要特别处理的小区间问题，左闭右闭可以更容易描述逻辑。
左开右闭的优点
避免数组越界：使用左闭右开区间，right 永远是无效位置，不会直接访问数组越界的索引。
逻辑一致性：左闭右开区间的范围在迭代过程中可以稳定保持逻辑清晰，容易与数学符号对应。
代码简洁：由于退出条件是 left == right，很多情况下可以直接用 left 返回结果，无需做出额外检查。
实际应用中的选择 Choosing the Right Interval in Practice
在实际应用中，选择使用左闭右闭还是左闭右开区间，往往取决于具体问题的需求和个人习惯。以下是一些指导原则：
- 数组索引：在处理数组索引时，左闭右开区间更加自然，因为数组的索引从
0到n-1，左闭右开可以避免n的无效访问。 - 范围划分：当需要频繁划分范围时，左闭右开区间的逻辑更清晰，减少了混淆和错误。
- 边界条件：如果问题中涉及到明确的边界条件，如查找第一个或最后一个满足条件的元素，选择合适的区间类型可以简化逻辑。
典型例题分析 Exemplars
1. 在数组中查找目标值，返回索引
左闭右闭实现：
int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
return mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
return -1;
}
左闭右开实现：
int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0, right = nums.size();
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
return mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid;
}
}
return -1;
}
2. 在有序数组中找到目标值的插入位置
综上所述，左闭右开更适合这一场景，因为它的区间逻辑更加贴合“边界”问题：
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0, right = nums.size();
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid;
}
}
return left; // 返回插入位置
}
复杂度分析 Complexity Analysis
二分查找的时间复杂度为 ，空间复杂度为 。这种高效性使得二分查找在处理大规模数据时表现出色。然而，二分查找的前提条件是数据必须是有序的，这在某些情况下可能需要额外的排序时间。
相关题目 Practice Problems
可以在阅读本文后自己实践一下以下题目：
有帮助，赞一个