证明圆锥体体积公式.

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粉碎机粉碎粉碎机

秩序白银

2024-07-16 22:51:22

发布于：浙江

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有没有人想过,圆柱体体积公式是怎么来的?
读过小学的都知道教科书上用的是倒水法,但是太不标准了!!!

注:V圆锥=1/3 π r^{2} h

废话不多说直接开始:


s=设DA=r,CB=R,EB=H,AE=h,绿色圆的面积=S

rh=RHr=RhHS=π(RhH)2∫0HS dh=∫0Hπ(RhH)2 dh=π∫0H(RhH)2 dh=πR2H2∫0Hh2 dh\frac{r}{h}=\frac{R}{H}\\ r=\frac{Rh}{H}\\ S=\pi(\frac{Rh}{H})^2\\ \int_{0}^{H}{S}\ dh=\int_0^{H}\pi(\frac{Rh}{H})^2\ dh\\ =\pi\int_0^H{(\frac{Rh}{H})^2}\ dh\\ =\pi\frac{R^2}{H^2}\int_{0}^{H}{h}^2\ dh\\ 

注:R,H,π都是常数,可以提出.

=πR2H2[h33]0H=πR2H2⋅(H33−033)=πR2H3=\pi\frac{R^2}{H^2}[\frac{h^3}{3}]_0^H\\ =\pi\frac{R^2}{H^2}\cdot (\frac{H^3}{3}-\frac{0^3}{3})\\ =\pi R^2 \frac{H}{3}\\ 

注:根据幂次积分公式:

∫anxndx=an+1n+1−bn+1n+1\int_a^nx^ndx=\frac{a^{n+1}}{n+1}-\frac{b^{n+1}}{n+1}

证明完成!!!!!
一键三连求求了(虽然不是b站)
是不是很简单!!!
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全部评论 3

  • userId_undefined

    麻醉机新鲜气体的输出切换装置

    倔强青铜

    可以把倒水法的实践换成理论证明，可以拿圆锥和切去圆锥的圆柱共同切片后得到三棱锥(圆锥切出)和四棱锥(剩余切出)，只需证明这里四棱锥是三棱锥的两倍，而此处四棱锥可以变成两个与前三棱锥共面等高的新三棱锥，所以得圆锥是圆柱体积的13\frac{1}{3} ,由此得V圆锥=13πr2hV_{圆锥}=\frac{1}{3} π r^{2} h

    2024-07-16 来自 上海

    1
  • userId_undefined

    粉碎机粉碎粉碎机

    秩序白银

    有人吗!!!

    2024-07-16 来自 浙江

    1
  • userId_undefined

    Macw07

    AC狗饲养员
    尊贵铂金

    相同的帖子就不要发两遍了，容易被 BAN。

    2024-07-16 来自 意大利

    0

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