#创作计划#一元二次函数No.1

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一只姜（AAAAAA级遗址）

秩序白银

2024-05-22 13:35:29

发布于：浙江

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今天我们来讲一元二次函数！

本文章适合已学习过、接触过函数的同学

注：这里整理的内容网上可找不到哦，是整合内容

注：作者本人7年级小弱弱，自主与高中数学老师的母亲学习，可能不太完善，有错误请提出
好玩爱玩
一元二次函数又称二次函数哦

首先我们来了解一元二次函数，即为

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

其中a不等于零，b，c是实数

这是一个直角坐标系

我们来看个例子：

y=x2+1y=x^2+1

这里b=0

会长这样

我们可以看到，一元二次函数的图像是一个抛物线。
那么，抛物线有开口方向、顶点（最低/高点）、与x轴交点（可能为0）、定点与x轴距离等等

我们先来观察函数性质：

刚才已经展示了一个函数图像，那么我们再展示一个：

y=−x2+1y=-x^2+1

我们发现，在a>0时，抛物线开口朝上，反之开口朝下

我们再来观察图像：

y=x2+2x(c=0)y=x^2+2x(c=0)

顶点横坐标（x）为负

y=x2−2x(c=0)y=x^2-2x(c=0)

顶点横坐标为正

y=−x2+2x(c=0)y=-x^2+2x(c=0)

顶点横坐标为正

y=−x2−2x(c=0)y=-x^2-2x(c=0)

顶点横坐标为负

所以可以得出结论：

当a>0时：

当b>0,顶点在y轴左侧（横坐标为负）
当b<0,顶点在y轴右侧（横坐标为正）

当a<0时：

当b<0,顶点在y轴侧（横坐标为负）
当b>0,顶点在y轴右侧（横坐标为正）

记住，当b=0，顶点在y轴上（x轴为0）

接下来是枯燥无味的顶点公式：

顶点

P(−b2a,4ac−b24a)P(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})

要背，很有用

接下来我们来学习函数图像与x轴的交点

函数y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c可以转换为y=a(x−m)(x−n)y=a(x-m)(x-n)

其中与x轴交点的坐标分别为：

X1(m,0)X_1(m,0)
X2(n,0)X_2(n,0)

其实实质就是am2+bm+c=0am^2+bm+c=0和an2+bn+c=0an^2+bn+c=0

当然，不是所有时候都是2个交点，有时是1个，有时没有。

这里我们需要了解一元二次方程：

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

此处有个叫做ΔΔ（德尔塔）的东西，即为：

Δ=b2−4acΔ=b^2-4ac

当ΔΔ大于0时，方程有2个不同的解
当ΔΔ等于0时，方程有2个相同的解（就是1个解）
当ΔΔ小于0时，方程没有解

一元二次函数和这里的一元二次方程相似，也有ΔΔ，性质相同。
所以当ΔΔ大于0时，ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0有2个解，所以函数图像与x轴有2个交点
当ΔΔ等于0时，ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0有1个解，所以函数图像与x轴有1个交点
当ΔΔ小于0时，ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0没有解，所以函数图像与x轴没有交点

一元二次函数，只需要知道3个点，即可确定函数解析式

like this:
已知二次函数

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

上有3个点，分别为
A(−1,0)A(-1,0),B(0,1)B(0,1),C(−2,1)C(-2,1)

先列表（这里只是便于记录，其实不用）：

点 X Y
A -1 0
B 0 1
C -2 1

那么逐一带入：

a−b+c=0a-b+c=0

c=1c=1

4a−2b+c=14a-2b+c=1

解方程，得：
{a=1b=2c=1 \begin{cases} a=1 \\ b=2\\ c=1 \end{cases}
所以得出函数：y=x2+2x+1y=x^2+2x+1

23/12/28更：

先讲关于某些题型！

什么题型呢，就是问你某个函数的函数图像在x轴上/下的部分的定义域是什么

讲个例子，eg.求y=x^2+2-5的函数图像在x轴之下的部分的x坐标范围！
首先可以画个图辅助：

首先我们前面知道，当a>0时，函数开口朝上，所以在x轴之下的应该是大于m小于n的（这里指前面的y=a(x−m)(x−n)y=a(x-m)(x-n)顶点式中的m，n)
也就是这一块：

所以我们要求出与x轴相交的两个点坐标，也就是设：
x2+2x−5=0x^2+2x-5=0
学过一元二次方程的都会做吧！这里我就不展示了

x=−b±b2−4ac2a=−2±22+202=−1±6x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+20}}{2}=-1\pm\sqrt{6}

x1=−1−6x_1=-1-\sqrt{6}

x2=−1+6x_2=-1+\sqrt{6}

所以这里m=−1−6m=-1-\sqrt{6},n=−1+6n=-1+\sqrt{6}
所以答案为：
−1−6<x<−1+6-1-\sqrt{6}<x<-1+\sqrt{6}

当然，想求在x轴之上也可以，在上面的基础上答案为：
x<−1−6x<-1-\sqrt{6}或者x>−1+6x>-1+\sqrt{6}

注：考试的时候可能在a,b,c中选择几个不告诉你！这里需要结合前面的定理来判断开口方向

待更

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