C++的高精度乘法

唱跳坤

2023-09-03 11:30:00

发布于：广东

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为什么需要高精乘

在其它的编程语言里(如Python和Java)都直接支持高精度数据。而对于 C++ 而言，最大的数据为 long long（64b，8位），对于超过 8B 的数据，C++ 没有对应的数据类型进行表示。所以我们需要知道如何进行高精度计算。

可以参考这个网页

高精度乘法原理

我们就可以用 C++ 语言来模拟这个竖式减法的过程。我们可以考虑利用 C++ 的数组来存储对应数据，假设用数组 A 存储被减数 856 的每一位，具体来说就是 A1 存储个位 6，A2 存储十位 5，A3存储百位 8；类似数组 A 的结构，使用数组 B 存储减数 25；类似数组 A 的结构，使用数组 C 来存储对应的乘积 21400。两数相加的结果就如图 2 所示。这样理论上来说，我们就可以计算无限大的数据。如上图 2 所示，下表表示对应的存储方式。

	数组A	数组B	数组C
[0]	6	5	0
[1]	5	2	0
[2]	8		4
[3]			1
[5]			2

如上面的图 2 ，首先计算被乘数与乘数的个位数字的乘积，把结果保存到积数组中，然后再用被除数乘以乘数的十位数字，把结果退一位加到积数组中。每加一次乘积结果就进行一次进位处理，放在一个新组数里面。其方法与加法中的进位处理一样。
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ C_0=C'_0=A_0$ x $B_0$
$C_1=C'_1+C''_1=A_0$ x $B_1+A_1$ x $B_0+JW_{nextround}$
$C_2=C'_2+C''_2=A_2$ x $B_0+A_1$ x $B_1+JW_{nextround}$
$C_3=C'_3+C''_3=A_3$ x $B_0+A_2$ x $B_1+JW_{nextround}$

关键点

a[i]*b[j] 应该累加到 i+j 的位置；
累加总结果为： c[i+j] = a[i]*b[j]+jw+c[i+j]；
所以每次累加完后：
(1)带入下一位累加的进位: jw = c[i+j] / 10;
(2)本位实际数: c[i+j] %= 10。

高精度乘法实现

思路

定义存储数组。
读入数据处理。
从个位开始模拟竖式乘法的过程，完成整个乘法。
删除前导 0 。所谓前导零，就是出现类似这样数据 01234，这个 0 实际是不需要的。
输出结果。倒序输出减法的结果数组 C，因为我们的个位是存储在下标为 0 的地方。

技术细节说明

定义存储数组

根据题目的要求定义数组，部分代码如下：

const int MAXN = 1e5+4; //根据题目的最大值。+4为了防止A+B出现进位
char s1[MAXN] = {};//存储字符串
char s2[MAXN] = {};//存储字符串
int a[MAXN] = {};//存储加数A
int b[MAXN] = {};//存储加数B
int c[2*MAXN] = {};//存储乘积

读入数据并处理

这里我们先考虑以下几种情况，即 -35=-15 或者 -48=-32 或者 -3*(-2)=6，也就是说，需要对输入数据的正负号进行判断。这个部分代码
如下：

    scanf("%s %s", s1, s2);//读入字符串
 
    //处理负数
    bool flaga = false;//乘数a的符号
    if ('-'==s1[0]) {
        flaga = true;
        strcpy(s1, &s1[1]);//删除负号
    }
    bool flagb = false;//乘数b的符号
    if ('-'==s2[0]) {
        flagb = true;
        strcpy(s2, &s2[1]);//删除负号
    }
 
    //处理输出的负号
    if ((true==flaga && false==flagb) || (false==flaga && true==flagb)) {
        printf("-");
    }
 
    //处理乘数1
    int lena = strlen(s1);
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        a[lena-i-1]=s1[i]-'0';
    }
 
    //处理乘数2
    int lenb = strlen(s2);
    for (int i=0; i<lenb; i++) {
        b[lenb-i-1]=s2[i]-'0';
    }

模拟竖式乘法

这个部分的代码如下：

    //模拟竖式乘法
    int jw;//上一轮计算进位
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        jw=0;
        for (int j=0; j<lenb; j++) {
            //交叉乘积
            c[i+j] = a[i]*b[j]+jw+c[i+j];//当前乘积+上次乘积进位+原数
            jw = c[i+j]/10;//处理进位
            c[i+j] %= 10;
        }
        c[i+lenb]=jw;//进位设置
    }

删除前导0

这个部分的代码如下

    //删除前导零
    int lenc=lena+lenb;
    for (int i=lenc-1; i>=0; i--) {
        //因为我们是从索引 0 开始，所以最高位是保存在 len-1
        if (0==c[i] && lenc>1) {
            //注意要有 lenc>1 这个条件。考虑特殊情况，加法结果为 00，我们实际要输出 0。
            lenc--;
        } else {
            //第一个不是零的最高位，结束删除
            break;
        }
    }

输出计算结果

采用倒序的方式输出，因为我们数据保存是倒序结构，也就是低位在前。

    //逆序打印输出
    for (int i=lenc-1; i>=0; i--) {
        printf("%d", c[i]);
    }
    printf("\n");

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