快速幂与矩阵快速幂

Macw07

2024-05-08 09:44:07

发布于：新加坡

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什么是快速幂，为什么要使用快速幂？

Macw: 快速幂有好多好处。
Penelope: 例如？
Macw: 它比较快。

见名知意，快速幂算法可以在非常短的时间内求出一个数的 $n$ 次幂。虽然快速幂在初学阶段的应用不算太多，但是快速幂背后的思想是非常值得我们去理解的。

举例而言，如果我们要求出 $3^4$ 的值是多少？我们当然可以暴力求解 $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ 。如果要求出 $3^{n}$ 是多少呢？暴力也还不为过...

暴算法力求解一个数的次幂的时间复杂度是 $O(n)$ 。如果我们要求解的次幂非常高的时候，那么速度就会变得非常慢。众所周知，普通64位测评机每秒也就能处理 $10^8$ 左右的数据。因此我们需要找到一个更优的算法来解决这个问题。

快速幂算法的核心思想就是幂运算的乘法法则。

我们以求 $3^{16}$ 为例，根据“同底次幂相乘，底数不变，指数相加的法则”，我们可以把问题看作成求解 $3^{8} \times 3^{8}$ 的值。不难看出，这样的话我们只需要知道 $3^8$ 的值，我们就可以快速求出 $3^{16}$ 的值了，不再需要在 $3^8$ 的基础上再乘 $8$ 遍来得到最终结果。相同地，我们也可以以同样的方法快速求出 $3^8$ 的值，这样子程序运行的速度将会大大减少：

再以计算 $3^{16}$ 次方为例：

我们先计算 $3^2$ 的值。
然后就可以立刻计算出 $3^4$ 的值。
然后就又可以计算出 $3^8$ 的值。
最后就能快速地计算出 $3^{16}$ 的值了。

比较新的快速幂的算法和普通的暴力算法，可以看到原本需要运行 $16$ 次的乘法运算现在只需要运算 $4$ 次就可以计算出答案了。当数据量越大的时候，两个算法的速度差距就会越明显。（稍微学过初高等数学的人可以推断出快速幂算法的时间复杂度约为 $O(log_2(n))$ ，对数时间复杂度远优于线性时间复杂度）。

快速幂算法的进一步拓展

然而，大家也都发现了，普通的快速幂算法只能解决要求解次幂为 $2$ 的指数的情况（将代码稍做修改其实也可以解决所有以偶数作为次幂的情况）（例如： $1, 2, 4, 8, \dots, 2^n$ ）。难道对于那些非 $2$ 的指数倍的次幂就没有办法了吗？当然不是。

我们都知道，任意一个数字都可以被查分成多个 $2$ 的次幂的和。

例如数字 $34$ ，可以写成二进制形式 $100100_{(Base\space2)}$ 。那么 $32$ 这个数字就可以被分解成 $2^5 + 2^2$ 。再根据幂运算的乘法法则，若要计算出任意数字 $x^{34}$ ，只需要计算出 $x^{2^5}$ 和 $x^{2^2}$ ，即 $x^{32}$ 和 $x^{4}$ 就可以再按照之前的快速幂方法快速求解答案。

因此，对于求任意一个指数非 $2$ 的次幂的值，我们可以将这个指数分解成多个 $2$ 的次幂相加的和并依次求解出最后的答案即可。其中，这多个 $2$ 的次幂的数字我们也可以通过普通的快速幂算法快速求得答案。

到目前为止，快速幂算法就迎刃而解了。

快速幂算法的代码以及实现

这个是 C++ 代码的快速幂模版：

这段代码通过递归求解问题，将一个大的次幂转变成两个小的次幂的积进行运算。

// 计算以 base 为底数的 exponent 次方的值
long long quick_power_recursive(int base, int exponent) {
    if (exponent == 0) 
        // 如果指数为0，返回1
        return 1;
    else if (exponent % 2 == 0) { 
        // 如果指数为偶数，递归计算底数的一半指数幂
        long long temp = quick_power_recursive(base, exponent / 2); 
        // 返回底数的一半指数幂的平方
        return temp * temp; 
    } else { 
        // 如果指数为奇数，递归计算底数的一半指数幂
        long long temp = quick_power_recursive(base, (exponent - 1) / 2); 
        // 返回底数乘以底数的一半指数幂的平方
        return base * temp * temp; 
    }
}

这个是经过位运算优化过后的快速幂模板：

// 计算以 base 为底数的 exponent 次方的值
long long quick_power(int base, int exponent) {
    // 初始化结果为 1
    long long result = 1; 
    // 当指数不为0时进行循环
    while (exponent) { 
        // 如果指数为奇数，将当前底数乘到结果中
        if (exponent & 1) 
            result *= base;  
        // 底数平方
        base *= base; 
        // 将指数右移一位，相当于除以 2
        exponent >>= 1; 
    }
    return result;  // 返回结果
}

矩阵快速幂 - 结束语

学过线性代数的同学们看过来！

快速幂算法不光可以求解普通的快速幂问题，我们还可以用同样的方法对一个任意大小的矩阵求快速幂。快速幂在矩阵乘法中的作用非常的大，普通的两个矩阵相乘的时间复杂度约为 $O(n^3)$ ，其中 $n \times n$ 为矩阵的大小。

$Matrix = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{bmatrix}^n$

相比较普通快速幂，矩阵快速幂只需要重新定义乘法的运算规则即可。这里提供一个用结构体来重定义运算符的方法：

struct matrix{
    int a[5][5];
    matrix() { memset(a, 0, sizeof a); }
    matrix operator * (const matrix &b) const {
        matrix res;
        for (int i=1; i<=2; i++){
            for (int j=1; j<=2; j++){
                for (int k=1; k<=2; k++){
                    res.a[i][j] = (res.a[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j]) % MOD;
                }
            }
        }
        return res;
    }
} ans, base;